问题
解答题
已知函数f（x）=x3+x．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）判断函数f（x）的单调性，并说明理由．
答案
（1）显然函数f（x）的定义域为R；（2分）
（2）函数f（x）为奇函数．（3分）
因为f（-x）=（-x）3+（-x）=-x3-x=-（x3+x）=-f（x），（6分）
所以f（x）为奇函数．（7分）
（3）函数f（x）在R上是增函数．（8分）
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=（x13+x1）-（x22+x2）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）+（x1-x2）=(x1-x2)[(x1+
x2)2+1 2 3 4
+1]（10分）x 22
由x1＜x2，得x1-x2＜0，(x1+
x2)2+1 2 3 4
+1＞0，（11分）x 22
于是f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．（12分）
所以，函数f（x）在R上是增函数．