已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=-7xx2+x+1．

问题解答题

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=-

x2+x+1

．
（1）求x＜0时，f（x）的解析式；
（2）试确定函数y=f（x）（x≥0）单调区间，并证明你的结论．

答案

（1）若x＜0则-x＞0，∵f（x）是偶函数，

∴f(x)=f(-x)=

-7(-x)

(-x)2+(-x)+1

x2-x+1

（2）设x₁，x₂是区间[0，+∞）上任意两个实数，且0≤x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）f(x1)-f(x2)=

-7x1

+x1+1

-7x2

+x2+1

7(x1-x2)(x1x2-1)

(

+x1+1)(

+x2+1)

当0≤x₁＜x₂≤1时，x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＜0而x₁²+x₁+1＞0及x₂²+x₂+1＞0，

∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x）在[0，1]上为减函数．

同理当1＜x₁＜x₂时，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x）在（1，+∞）上为增函数