问题
解答题
△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设复数z=sinA（sinA-sinC）+（sin2B-sin2C）i，且z在复平面内所对应的点在直线y=x上．
（1）求角B的大小；
（2）若sinB=cosAsinC，△ABC的外接圆的面积为4π，求△ABC的面积．
答案
（1）∵复数z=sinA（sinA-sinC）+（sin2B-sin2C）i所对应的点在直线y=x上，
∴sinA（sinA-sinC）=sin2B-sin2C，
即sin2A-sin2B-+sin2C=sinAsinC，
由正弦定理，得a2+c2-b2=ac
∴cosB=
=a2+c2- b2 2ac
，1 2
∵B∈（0，π）
∴B=
．π 3
（2）∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
sinB=cosAsinC，
∴cosCsinA=0
∵A，C∈（0，π）
∴cosC=0，C=π 2
直角三角形ABC中，AB为外接圆的直径．
∴π(
)2=4πAB 2
∴AB=4
∵B=π 3
∴BC=2，AC=23
∴S△ABC=
CA•CB=1 2
×2×21 2
=23
．3