问题
解答题
已知：函数f（x）=
（1）当a=-1时，判断并证明函数的单调性并求f（x）的最小值； （2）若对任意x∈[1，+∞]，f（x）＞0都成立，试求实数a的取值范围． |
答案
（1）当a=-1时f（x）=
=x-x2+2x-1 x
+21 x
f′（x）=1+
＞0，x∈[1，+∞]，所以f（x）在x∈[1，+∞]上是增函数，1 x2
所以x=1时f（x）取最小值，最小值为2
（2）若对任意x∈[1，+∞]f（x）＞0恒成立，则
＞0对任意x∈[1，+∞]恒成立，所以x2+2x+a＞0对任意x∈[1，+∞]恒成立，令g（x）=x2+2x+a，x∈[1，+∞]，x2+2x+a x
因为g（x）=x2+2x+a在∈[1，+∞]，上单调递增，
所以x=1时g（x）取最小值，最小值为3+a，
∵3+a＞0，∴a＞-3．