（1）证明：设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，则f（x₂-x₁）＞1

∵函数f（x）对于任意m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）-1成立

∴令m=n=0，有f（0+0）=f（0）+f（0）-1，即f（0）=1，

再令m=x，n=-x，则有f（x-x）=f（x）+f（-x）-1，即f（0）=f（x）+f（-x）-1，

∴f（-x）=2-f（x），

∴f（-x₁）=2-f（x₁）

而f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）-1=f（x₂）+2-f（x₁）-1＞1，

即f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），

∴函数f（x）在R上为增函数；

（2）∵f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）-1=f（1）+f（1）+f（1）-2=3f（1）-2=4

∴f（1）=2．

∴f（a²+a-5）＜2，即为f（a²+a-5）＜f（1），

由（1）知，函数f（x）在R上为增函数，a²+a-5＜1，即a²+a-6＜0，

∴-3＜a＜2

∴不等式f（a²+a-5）＜2的解集是{a|-3＜a＜2}