在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为a、b、c；（Ⅰ）设向量x=(sin

问题解答题

在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为a、b、c；
（Ⅰ）设向量

=(sinB，sinC)，向量

=(cosB，cosC)，向量

=(cosB，-cosC)，若

∥(

)，求tanB+tanC的值；
（Ⅱ）已知a²-c²=8b，且sinAcosC+3cosAsinC=0，求b．

答案

（Ⅰ）∵向量

=(sinB，sinC)，向量

=(cosB，cosC)，

∴

=(sinB+cosB，sinC+cosC)，

由

∥(

)，

得cosC（sinB+cosB）+cosB（sinC+cosC）=0，

即sinBcosC+cosBsinC=-2cosBcosC

所以tanB+tanC=

sinB

cosB

sinC

cosC

sinBcosC+cosBsinC

cosBcosC

=-2；

（Ⅱ）∵sinAcosC+3cosAsinC=0，

∴sinAcosC=-3cosAsinC，

把角之间的关系变化为边之间的关系，

则由正弦定理及余弦定理有：a•

a2+b2-c2

2ab

=-3

b2+c2-a2

2bc

•c，

化简并整理得：a²-c²=2b²，

又由已知a²-c²=8b，

∴2b²=8b，

解得b=4或b=0（舍），

∴b=4．