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问题 填空题
若函数f（x）定义域内有两个任意实数x1，x2，满足f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
，则称函数f（x）为凸函数，下列函数中是凸函数的为 ______．
①f（x）=3x+1，②f(x)=
1
x
x∈（-∞，0），③f（x）=x2-3x-2，④f（x）=-|x+1|
答案

①

f(x1)+f(x2)
2
-f(
x1+x2
2
)=
3x1+1+3x2+1
2
-3
x1+x2
2
+1=0，不是凸函数；

②

f(x1)+f(x2)
2
-f(
x1+x2
2
)=
1
x1
+
1
x2
2
-
1
x1 +x2
2
=
2(x1-x2) 2
(x1 +x2) x1x2
符号不确定，故不为凸函数

③

f(x1)+f(x2)
2
-f(
x1+x2
2
)=
x12-3x1-2+x22-3x2-2
2
-(
x1+x2
2
)2+3
x1+x2
2
+2

=(

x1-x2
2
)2＞0，故为凸函数．

④

f(x1)+f(x2)
2
-f(
x1+x2
2
)=
-|x1+1|-|x2+1|
2
+|
x1 +x2
2
+1|，

取x1=1，x2=2则上式为0，故不是凸函数．

故答案为：③

解答题
设函数f（x）=a•b，其中向量a=（m，cos2x），b=（1+sin2x，1），x∈R，且y=f（x）的图象经过点（
π
4
，2）．
（1）求实数m的值；
（2）求f（x）的最小正周期．
（3）求f（x）在[0，
π
2
]上的单调增区间．
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单项选择题 案例分析题

男，50岁，近几年来逐渐出现心悸、乏力、活动后气急。体检发现：心脏向左下扩大。心尖部有舒张期滚筒样杂音，主动脉听诊区闻及舒张期泼水样杂音。

可能的诊断是（）

A.二尖瓣关闭不全

B.二尖瓣狭窄

C.主动脉瓣狭窄

D.肥厚型梗阻性心肌病

E.主动脉瓣关闭不全
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