问题
解答题
在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，角B的对边b为1，求证：1＜a+c≤2．
答案
证法一：∵2B=A+C，又A+B+C=180°，
∴B=60°，C=120°-A．
由正弦定理得
=a sinA
=c sinC
，1 sin60°
再由合分比定理得：
a+c=
（sinA+sinC）2 3 3
=
[sinA+sin（120°-A）]2 3 3
=2sin（A+30°）≤2，
再由两边之和大于第三边，
∴1＜a+c．
∴1＜a+c≤2．
证法二：先得B=60°（同上得）．
再利用余弦定理知cosB=
，即a2+c2-b2 2ac
=1 2
，a2+c2-b2 2ac
即（a+c）2-1=3ac≤3（
）2．a+c 2
解得a+c≤2．
又∵a+c＞1，
∴1＜a+c≤2．