A、将x=0代入方程x²-2x+1=0，左边=0-0+1=1，右边=0，左边≠右边，所以0不是原方程的根，故本选项错误；

B、将x=1代入方程x²-2x+1=0，左边=1-2+1=0，右边=0，左边=右边，所以1是原方程的根，故本选项正确；

C、将x=2代入方程x²-2x+1=0，左边=4-4+1=1，右边=0，左边≠右边，所以2不是原方程的根，故本选项错误；

D、将x=3代入方程x²-2x+1=0，左边=9-6+1=4，右边=0，左边≠右边，所以3不是原方程的根，故本选项错误．

故选B．