问题
解答题
已知函数f（x）=x+
（1）判断f（x）的奇偶性并证明； （2）判断f（x）在（0，1]上的单调性并加以证明； （3）求f（x）的值域． |
答案
（1）因为函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
所以f（-x）=-x-
=-（x+1 x
）=-f（x）奇函数） …（3分）1 x
（2）f（x）在（0，1]上的单调递减
设0＜x1＜x2≤1，
则0＜x1x2＜1，x1-x2＜0
∴f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+(
-1 x1
)=(x1-x2)+(1 x2
)=x2-x1 x1x2
＞0(x1-x2)(x1x2-1) x1x2
即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在（0，1]上的是单调递减函数…（8分）
（3）由（2）同理可证f（x）在[1，+∞）上的是单调递增函数，
又f（x）在（0，1]上的是单调递减函数，
∴x＞0时，f（x）min=f（1）=2．
而f（x）为奇函数，其图象关于原点对称
∴x＜0时，f（x）max=f（-1）=-2．
所以函数f（x）的值域为（-∞，-2]∪[2，+∞）．…（12分）