问题
解答题
| 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a-c）cosB=bcosC． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若点D为BC边的中点，∠CAD=
|
答案
（Ⅰ）方法一：
∵
=a sinA
=b sinB
，c sinC
∴
=a b
，sinA sinB
=c b
．sinC sinB
∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴(2
-sinA sinB
)cosB=cosC．sinC sinB
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC．
∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA．
∵A∈（0，π），∴sinA≠0．∴cosB=
．1 2
∵B∈（0，π），∴B=
．π 3
方法二：
∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴(2a-c)
=ba2+c2-b2 2ac
，a2+b2-c2 2ab
化简得 a2+c2-b2=ca，
∴cosB=
=a2+c2-b2 2ac
，1 2
∵B∈（0，π），∴B=
，π 3
（Ⅱ）在△ACD，△ABD中，
=CD sin∠CAD
，AD sinC
=BD sin∠BAD
．AD sinB
由（Ⅰ）知：B=
．π 3
∵点D为BC边的中点，∠CAD=
，∴∠ABC=π--π 6
-π 3
-C=π 6
-C，π 2
∴
=1 sin π 6
，AD sinC
=1 sin(
-C)π 2
，AD sin π 3
化简得sin2C=
，3 2
∵C∈(0，
)，∴2C∈（0，π），π 2
∴2C=
或π 3
，即C=2π 3
或C=π 3
，π 6
当C=
时，△ABC为等边三角形，由CD=1可得：AB=2CD=2；π 3
当C=
时，∠BAD=π 6
-π 2
=π 6
，所以△ABD为等边三角形，由CD=1可得：AB=BD=CD=1．π 3
综上得，c=2或c=1．