问题
解答题
| 已知函数f（x）=aln（x+1）+（x+1）2，其中，a为实常数且a≠0． （Ⅰ）求f（x）的单调增区间； （Ⅱ）若f(x)≥
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答案
（Ⅰ）f′(x)=
+2(x+1)=a x+1
（2分）2(x+1)2+a x+1
因为f（x）的定义域为（-1，+∞），所以x+1＞0
当a＞0时，f′（x）＞0，此时f（x）的单调增区间为（-1，+∞）（4分）
当a＜0时，2（x+1）2＞-a，即x＞-1+
时f′（x）＞0，- a 2
此时f（x）的单增区间为(-1+
，+∞)（6分）- a 2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＞0时，f（x）在（-1，+∞）单调增，而当x→0时，f（x）→-∞
所以此时f（x）无最小值，不合题意（7分）
当a＜0时，f（x）在(-1，-1+
)上单调减，在(-1+- a 2
，+∞)上增，- a 2
所以f(x)≥
恒成立，即f(-1+a 2
)≥- a 2
⇒alna 2
+(- a 2
)2≥- a 2
（10分）a 2
⇒ln
≤1，得0＜- a 2
≤e⇒-2e2≤a＜0.（12分）- a 2