若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则有x1+x2=

问题解答题

若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根，则有x1+x2=-

，x1-x2=

，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系．若α，β是方程x²-x-1=0的两根，记S₁=α+β，S₂=α²+β²，…，S_n=αⁿ+βⁿ，
（1）S₁=______S₂=______S₃=______S₄=______直接写出结果）
（2）当n为不小于3的整数时，由（1）猜想S_n，S_n-1，S_n-2有何关系？
（3）利用（2）中猜想求(

)7+(

)7的值．

答案

（1）根据根与系数的关系有：

α+β=1，αβ=-1．

∴S₁=α+β=1．

S₂=α²+β²=（α+β）²-2αβ=1+2=3．

S₃=α³+β³=（α+β）（α²-αβ+β²）=（α+β）²-3αβ=1+3=4．

S₄=α⁴+β⁴=（α²+β²）²-2α²β²=9-2=7．

（2）由（1）得：S_n=S_n-1+S_n-2．

证明：∵α，β是方程的根，∴有：α²=α+1，β²=β+1，

S_n-1+S_n-2=α^n-1+β^n-1+α^n-2+β^n-2

αn

α2

βn

β2

αn(1+α)

α2

βn(1+β)

β2

=αⁿ+βⁿ=S_n．

故S_n=S_n-1+S_n-2．

（3）由（2）有：

(

)7+(

)7=S₇=S₆+S₅

=S₅+S₄+S₄+S₃

=S₄+S₃+2S₄+S₃

=3S₄+2S₃

=3×7+2×4=29．