问题 解答题
在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,已知C=
π
3

(Ⅰ)若a=2,b=3,求△ABC的外接圆的面积;
(Ⅱ)若c=2,sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积.
答案

(Ⅰ)∵a=2,b=3,C=

π
3

∴由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcosC

=4+9-2×2×3×

1
2

=7,

∴c=

7
,设其外接圆半径为R,则2R=
c
sinC
,故R=
21
3

∴△ABC的外接圆的面积S=πR2=

3

(Ⅱ)∵sinC+sin(B-A)=sin(B+A)+sin(B-A)=2sinBcosA=2sin2A=4sinAcosA,

∴sinBcosA=2sinAcosA

当cosA=0时,∠A=

π
2
,∠B=
π
6
,a=
4
3
3
,b=
2
3
3
,可得S=
2
3
3

当cosA≠0时,得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a…①,

∵c=2,∠C=60°,c2=a2+b2-2abcosC

∴a2+b2-ab=4…②,

联立①①解得a=

2
3
3
,b=
4
3
3

∴△ABC的面积S=

1
2
absinC=
1
2
absin60°=
2
3
3

综上可知△ABC的面积为

2
3
3

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