问题
解答题
已知四边形ABCD，AD∥BC，连接BD。
（1）小明说：“若添加条件BD2=BC2+CD2，则四边形ABCD是矩形。”你认为小明的说法是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请举出一个反例说明；
（2）若BD平分∠ABC，∠DBC=∠BDC，tan∠DBC=1，求证：四边形ABCD是正方形。
答案
解：（1）不正确，
如图作（直角）梯形ABCD，
使得AD∥BC，∠C=90°，
连结BD，则有BD2=BC2+CD2，
而四边形ABCD是直角梯形不是矩形；
（2）如图，
∵tan∠DBC=1，
∴∠DBC=45°，
∵∠DBC=∠BDC，
∴∠BDC=45°，
且BC=DC，
∵ BD平分∠ABC，
∴∠ABD=45°，
∴∠ABD=∠BDC，
∴ AB∥DC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=45°+45°=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵BC=DC，
∴四边形ABCD是正方形。