问题
解答题
已知函数f（x）=x+
（1）若方程f（x）=3x+1有且仅有一个实数解x=2，求a、b的值； （2）设a＞0，x∈（0，+∞），写出f（x）的单调区间，并对单调递增区间用函数单调性定义进行证明； （3）若对任意的a∈[
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答案
（1）由已知，方程）=x+
+b=3x+1有且仅有一个解x=2，a x
因为x≠0，故原方程可化为2x2+（1-b）x-a=0，…（1分）
所以
，…（3分）解得a=-8，b=9．…（5分）10-a-2b=0 (1-b)2+8a=0
（2）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（0，
）上是减函数，在（a
，+∞）上是增函数．…（7分）a
证明：设x1，x2∈（
，+∞），且x1＜x2，a
f（x2）-f（x1）=x2+
-x1-a x2
=（x2-x1）•a x1
，x1x2-a x1x2
因为x1，x2∈（
，+∞），且x1＜x2，a
所以x2-x1＞0，x1x2＞a，
所以f（x2）-f（x1）＞0．…（10分）
所以f（x）在（
，+∞）上是增函数．…（11分）a
（3）因为f（x）≤10，故x∈[
，1]时有f（x）max≤10，…（12分）1 4
由（2），知f（x）在区间[
，1]的最大值为f（1 4
）与f（1）中的较大者．…（13分）1 4
所以，对于任意的a∈[
，2]，不等式f（x）≤10在x∈[1 2
，1]上恒成立，当且仅当1 4
，f(
)≤101 4 f(1)≤10
即
对任意的a∈[b≤
-4a39 4 b≤9-a
，2]成立．…（15分）1 2
从而得到b≤
． …（17分）7 4
所以满足条件的b的取值范围是（-∞，
]． …（18分）7 4