问题
解答题
已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1、x2，都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1，
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；
答案
（1）证明：令x1=x2=1，得f（1）=2f（1），
∴f（1）=0．
令x1=x2=-1，得f（-1）=0．
∴f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x）．
∴f（x）是偶函数．
（2）证明：设x2＞x1＞0，则
f（x2）-f（x1）=f（x1•
）-f（x1）x2 x1
=f（x1）+f（
）-f（x1）=f（ x2 x1
）．x2 x1
∵x2＞x1＞0，∴
＞1．x2 x1
∴f（
）＞0，即f（x2）-f（x1）＞0．x2 x1
∴f（x2）＞f（x1）．
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．