（1）由f（1）=1得a=-1，

f′（x）=

2(x2+2)-2x(x+1)

(x2+2)2

=

-2(x2+x-2)

(x2+2)2

=

-2(x+2)(x-1)

(x2+2)2

≥0

-2≤x≤1，所以f（x）的减区间是（-∞，-2]和[1，+∞），增区间是[-2，1]（5分）

（2）方程f（x）=

1

x

可化为x²-ax-2=0，△=a²+8＞0

∴x²-ax-2=0有两不同的实根x₁，x₂，

则x₁+x₂=a，x₁x₂=-2

∴|x₁-x₂|=

(x1+x2) 2-4x1x2

=

a2+8

∵-1≤a≤1，∴当a=±1时，

∴|x₁-x₂|_max=

a1+8

=3

（3）若不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|恒成立，

由（2）可得m²+tm+1≥3，对t∈[-1，1]都成立m²+tm-2≥0，t∈[-1，1]，

设g（t）=m²+tm-2

若使t∈[-1，1]时g（t）≥0都成立，

则

g(-1)=-m+m2-2≥0 g(1)=m+m2-2≥0

解得：m≥2或m≤-2，所以m的取值范围是m≥2或m≤-2