问题
解答题
已知函数f（x）=
（1）当f（1）=1时，求函数f（x）的单调区间； （2）设关于x的方程f（x）=
（3）在（2）的条件下，若对于[-1，1]上的任意实数t，不等式m2+tm+1≥|x1-x2|恒成立，求实数m的取值范围． |
答案
（1）由f（1）=1得a=-1，
f′（x）=
=2(x2+2)-2x(x+1) (x2+2)2
=-2(x2+x-2) (x2+2)2
≥0-2(x+2)(x-1) (x2+2)2
-2≤x≤1，所以f（x）的减区间是（-∞，-2]和[1，+∞），增区间是[-2，1]（5分）
（2）方程f（x）=
可化为x2-ax-2=0，△=a2+8＞01 x
∴x2-ax-2=0有两不同的实根x1，x2，
则x1+x2=a，x1x2=-2
∴|x1-x2|=
=(x1+x2) 2-4x1x2 a2+8
∵-1≤a≤1，∴当a=±1时，
∴|x1-x2|max=
=3a1+8
（3）若不等式m2+tm+1≥|x1-x2|恒成立，
由（2）可得m2+tm+1≥3，对t∈[-1，1]都成立m2+tm-2≥0，t∈[-1，1]，
设g（t）=m2+tm-2
若使t∈[-1，1]时g（t）≥0都成立，
则g(-1)=-m+m2-2≥0 g(1)=m+m2-2≥0
解得：m≥2或m≤-2，所以m的取值范围是m≥2或m≤-2