问题
解答题
已知：函数f（x）=x3+px2+9qx+p+q+3 （x∈R）的图象关于原点对称，其中p，q是实常数．
（1）求p，q的值；
（2）确定函数f（x）在区间[-3，3]上的单调性；
（3）若当-3≤x≤3时，不等式f（x）≥10sint-49恒成立，求实数t的取值范围．
答案
（1）由f（-x）=-f（x），得2px2+2（p+q+3）=0恒成立，∴p=0，q=-3．
（2）f（x）=x3-27x，取-3≤x1＜x2≤3，则x12+x1x2+x22＜27．
∴f（x1）-f（x2）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22-27）＞0，f（x）在[-3，3]为减函数．
（3）由（2）知f（x）在区间[-3，3]上的最小值为f（3）=-54，
∴只需f（3）=-54≥10sint-49，
由sint≤-
，得t∈[2kπ-1 2
，2kπ-5π 6
]（k∈Z）．π 6