问题
解答题
定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f(x)=
（1）用定义证明f（x）在（0，+∞）上的单调性； （2）求出f（x）在R上的解析式． |
答案
（1）设x1，x2是（0，+∞）上任意两实数，且x1＜x2
则f（x1）-f（x2）=
-2x1 4x1+1
=2x2 4x2+1
=2x1(4x2+1)-2x2(4x1+1) (4x1+1)(4x2+1) 2x14x2+2x1-2x24x1-2x2 (4x1+1)(4x2+1)
=
=2x1+2x2 +2x1-2x2+2x1 -2x2 (4x1+1)(4x2+1) (2x1+x2 -1)(2x2 -2x1) (4x1+1)(4x2+1)
∵x1，x2是（0，+∞）上任意两实数，且x1＜x2 ，
∴2x1+x2-1＞0，2x2-2x1＞0，4x1+1 ＞0，4x2+1 ＞0
∴
＞0，(2x1+x2 -1)(2x2 -2x1) (4x1+1)(4x2+1)
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（2）设x＜0，则-x＞0，
∴f(-x)=
=2-x 4-x+1 2x 4x+1
∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-2x 4x+1
又∵f（0）=0
∴f(x)=
(x＞0)2x 4x+1 0(x=0) -
(x＜0)2x 4x+1