设方程x²-6x-k-1=0与x²-kx-7=0．

公共根为x₀，则x₀²-6x₀-k-1=0①

x₀²-kx₀-7=0②

①-②得（x₀²-6x₀-k-1）-（x₀²-kx₀-7）=0，

-6x₀+kx₀-k-1+7=0，

x₀（k-6）-（k-6）=0，

（k-6）（x₀-1）=0．

①若k≠6，则x₀=1．

当x₀=1时，1²-6×1-k-1=0，

所以k=-6．

②若k=6，则x₀≠1．

方程x²-6x-6-1=0，

x²-6x-7=0．

所以（x-7）（x+1）=0，

即x₁=7，x₂=-1．

而x²-6x-7=0与上述方程是同一方程．

所以当k=-6时，方程的公共根为x=1．