问题 解答题

讨论直线l:y=kx+1 与曲线C:x2-y2=1 的公共点的个数.

答案

解:联立直线l 与曲线C 的方程得

消去y,得(1-k2)x2-2kx-2=0.

当1-k2=0即k=±1时,

解得x=±1当1-k2≠0

即k≠±1时,Δ=4k2+8(1-k2)=8-4k2.

由Δ>0,得

由Δ=0,得

由△<0,得,或所以,

时,直线l与曲线C相交于两点;

时,直线l与曲线C相切于一点;

当k=±1时,直线l与曲线C相交于一点;

时,直线l与曲线C无公,即直线l与曲线C相离.

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