问题 解答题

设函数f(x)=|x-a|-ax,其中a>0为常数.,试求函数f(x)存在最小值的充要条件,并求出相应的最小值.

答案

由条件得:f(x)=

(1-a)x-a当x≥a时
-(1+a)x+a当x<a时
,(4分)

∵a>0,

∴-(1+a)<0,f(x)在(-∞,a)上是减函数.

如果函数f(x)存在最小值,

则f(x)在[a,+∞)上是增函数或常数.

∴1-a≥0,

得a≤1,

又a>0,∴0<a≤1.(5分)

反之,当0<a≤1时,

(1-a)≥0,∴f(x)在f[a,+∞)上是增函数或常数.

-(1+a)<0,∴f(x)在(-∞,a)上是减函数.

∴f(x)存在最小值f(a).

综合上述f(x)存在最小值的充要条件是0<a≤1,此时f(x)min=-a2(3分)

单项选择题 共用题干题
判断题