（1）任取1＜x₁＜x₂，则

f（x₂）-f（x₁）=log_a

x2+1

x2-1

-log_a

x1+1

x1-1

=log_a

(x2+1)(x1-1)

(x2-1)(x1+1)

=log_a

x1x2+x1-x2-1

x1x2-x1+x2-1

．

又∵x₂＞x₁＞1，∴x₁-x₂＜x₂-x₁．

∴0＜x₁x₂-x₂+x₁-1＜x₁x₂-x₁+x₂-1．

∴0＜

x1x2+x1-x2-1

x1x2-x1+x2-1

＜1．

当a＞1时，f（x₂）-f（x₁）＜0，

∴f（x）在（1，+∞）上是减函数；

当0＜a＜1时，f（x₂）-f（x₁）＞0，

∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．

（2）由

x+1

x-1

＞0得x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）．

∵

x+1

x-1

=1+

2

x-1

≠1，∴f（x）≠0．

当a＞1时，

∵x＞1⇒f（x）＞0，x＜-1⇒f（x）＜0，

∴要使f（x）的值域是（1，+∞），只有x＞1．

又∵f（x）在（1，+∞）上是减函数，

∴f^-1（x）在（1，+∞）上也是减函数．

∴f（x）＞1⇔1＜x＜f^-1（1）=

a+1

a-1

．

∴

r=1 a-2= a+1 a-1 .

∴

r=1 a=2± 3 (负号不符合).

当0＜a＜1时，

∵x＞1⇒f（x）＜0，x＜-1⇔f（x）＞0，

∴要使值域是（1，+∞），只有x＜-1．

又∵f（x）在（-∞，-1）上是增函数，

∴f（x）＞1⇒-1＞x＞f^-1（1）=

a+1

a-1

．

∴

r= a+1 a-1 a-2=-1

无解．

综上，得a=2+

3

，r=1．

（3）由f（x）≥log_a2x得

当a＞1时，

x＞1 x+1＞2x(x-1)

⇒

3- 17

＜x＜

3+ 17

4

且x＞1．

∴1＜x＜

3+ 17

4

．

当0＜a＜1时，

x＞1 x+1＜2x(x-1)

∴x＞

3+ 17

4

．