设函数fn（θ）=sinnθ+（-1）ncosnθ，0≤θ≤π4，其中n为正整数

问题解答题

设函数f_n（θ）=sinⁿθ+（-1）ⁿcosⁿθ，0≤θ≤

，其中n为正整数．
（1）判断函数f₁（θ）、f₃（θ）的单调性，并就f₁（θ）的情形证明你的结论；
（2）证明：2f₆（θ）-f₄（θ）=（cos⁴θ-sin⁴θ）（cos²θ-sin²θ）；
（3）对于任意给定的正奇数n，求函数f_n（θ）的最大值和最小值．

答案

（1）f₁（θ）、f₃（θ）在0≤θ≤

，上均为单调递增的函数．

对于函数f₁（θ）=sinθ-cosθ，设 θ₁＜θ₂，θ₁、θ₂∈[0，

]，则

f₁（θ₁）-f₁（θ₂）=（sinθ₁-sinθ₂）+（cosθ₂-cosθ₁），

∵sinθ₁＜sinθ₂，cosθ₂＜cosθ₁

∴f₁（θ₁）＜f₁（θ₂）函数f₁（θ）在[0，

]上单调递增．

（2）∵原式左边=2（sin⁶θ+cos⁶θ）-（sin⁴θ+cos⁴θ）

=2（sin²θ+cos²θ）（sin⁴θ-sin²θcos²θ+cos⁴θ）-（sin⁴θ+cos⁴θ）

=1-sin²2θ=cos²2θ．

又∵原式右边=（cos²θ-sin²θ）2=cos²2θ

∴2f₆（θ）-f₄（θ）=（cos⁴θ-sin⁴θ）（cos²θ-sin²θ）．

（3）当n=1时，函数f₁（θ）在[0，

]上单调递增，

∴_f1（θ）的最大值为f₁（

）=0，最小值为f₁（0）=-1．

当n=3时，函数f₃（θ）在[0，

]上为单调递增．

∴f₃（θ）的最大值为f₃（

）=0，最小值为f₃（0）=-1．

下面讨论正奇数n≥5的情形：对任意θ1、θ₂∈[0，

]，且θ₁＜θ_{2
∵f_n（θ₁）-f_n（θ₂）=（sinⁿθ₁-sinⁿθ₂）+（cosⁿθ₂-cosⁿθ₁），
以及 0≤sinθ₁＜sinθ₂＜1 0≤cosθ₂＜cosθ₁＜1，
∴sinⁿθ₁＜sinⁿθ₂cosⁿθ₂＜cosⁿθ₁，从而f_n（θ₁）＜f_n（θ₂）．
∴f_n（θ）在[0，
π
4
]上为单调递增，
则f_n（θ）的最大值为f_n（
π
4
）=0，最小值为f_n（0）=-1．
综上所述，当n为奇数时，函数f_n（θ）的最大值为0，最小值为-1．}