问题
解答题
| 设a=x2-x+1，b=x2-2x，c=2x-1，若a，b，c分别为△ABC的相应三边长， （1）求实数x的取值范围； （2）求△ABC的最大内角； （3）设△ABC的外接圆半径为R，内切圆半径为r，求
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答案
（1）由题意，
∵构成三角形的条件是三边均为正数，∴
⇒x2-x+1＞0 x2-2x＞0 2x-1＞0
，∴x＞2，x＞2或x＜0 x＞ 1 2
又∵任意两边之和大于第三边
∴a-b=x+1＞0，a-c=（x-1）（x-2）＞0
∴b+c＞a，∴x2-2x+2x-1＞x2-x+1，∴x＞2…（4分）
（2）由（1）可知A为最大角，cosA=
=b2+c2-a2 2bc
=-(x2-2x)2+ (2x-1)2-(x2-x+1)2 2(x2-2x)(2x-1)
，1 2
∵A为三角形的内角，∴A=120°．…（10分）
（3）根据正弦定理得：R=
=a 2sinA
…（11分）x2-x+1 3
利用三角形的面积相等可得S△ABC(x)=
bcsinA=1 2
x(x-2)(2x-1)，3 4
∴r=
=2s a+b+c
(x-2)…（12分）3 2
∴
=R r
(x＞2)…（14分）2(x2-x+1) 3(x-2)
令x-2=t＞0，则
=R r
(t+2 3
+3)3 t
∵t＞0，
∴t+
≥ 23 t 3
∴
≥R r 6+4 3 3
∴
∈[R r
，+∞)…（16分）6+4 3 3