（Ⅰ）由已知，∵

3

sinB-cosB=1，

∴sin（B-

π

6

）=

1

2

．                         …（2分）

∵0＜B＜π，

∴-

π

6

＜B-

π

6

＜

5

6

π．

故B-

π

6

=

π

6

，解得B=

π

3

．…（4分）

由A=

5π

12

，且A+B+C=π，得C=

π

4

．

由

c

sinC

=

b

sinB

，即

c

sin π 4

=

1

sin π 3

，解得c=

6

3

．…（7分）

（Ⅱ）因为b²=a²+c²-2accosB，a=2c，B=

π

3

，

所以b²=4c²+c²-4c²×

1

2

，解得b=

3

c．…（10分）

由此得a²=b²+c²，故△ABC为直角三角形，A=

π

2

，c=

1

3

．

其面积S=

1

2

bc=

3

6

．                          …（13分）