问题
解答题
已知圆C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4.(m∈R)
(1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交;
(2)求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程.
答案
解:(1)要证直线l无论m取何实数与圆C恒相交,
即要证直线l横过过圆C内一点,
方法是把直线l的方程改写成
m(2x+y﹣7)+x+y﹣4=0可知,
直线l一定经过直线2x+y﹣7=0和x+y﹣4=0的交点,
联立两条直线的方程即可求出交点A的坐标,
然后利用两点间的距离公式
求出AC之间的距离d,判断d小于半径5,得证;
(2)根据圆的对称性可得过点A最长的弦是直径,
最短的弦是过A垂直于直径的弦,
所以连接AC,过A作AC的垂线,
此时的直线与圆C相交于B、D,
弦BD为最短的弦,接下来求BD的长,
根据垂径定理可得A是BD的中点,
利用(1)圆心C到BD的距离
其实就是|AC|的长和圆的半径|BC|的长,
根据勾股定理可求出|BD|的长,
求得|BD|的长即为最短弦的长;
根据点A和点C的坐标求出直线AC的斜率,
然后根据两直线垂直时斜率乘积为
﹣1求出直线BD的斜率,
又直线BD过A(3,1),
根据斜率与A点坐标即可写出直线l的方程.