问题 解答题

已知圆C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4.(m∈R)

(1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交;

(2)求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程.

答案

解:(1)要证直线l无论m取何实数与圆C恒相交,

即要证直线l横过过圆C内一点,

方法是把直线l的方程改写成

m(2x+y﹣7)+x+y﹣4=0可知,

直线l一定经过直线2x+y﹣7=0和x+y﹣4=0的交点,

联立两条直线的方程即可求出交点A的坐标,

然后利用两点间的距离公式

求出AC之间的距离d,判断d小于半径5,得证;

(2)根据圆的对称性可得过点A最长的弦是直径,

最短的弦是过A垂直于直径的弦,

所以连接AC,过A作AC的垂线,

此时的直线与圆C相交于B、D,

弦BD为最短的弦,接下来求BD的长,

根据垂径定理可得A是BD的中点,

利用(1)圆心C到BD的距离

其实就是|AC|的长和圆的半径|BC|的长,

根据勾股定理可求出|BD|的长,

求得|BD|的长即为最短弦的长;

根据点A和点C的坐标求出直线AC的斜率,

然后根据两直线垂直时斜率乘积为

﹣1求出直线BD的斜率,

又直线BD过A(3,1),

根据斜率与A点坐标即可写出直线l的方程.

解答题
单项选择题