（1）由题意-2＜

-b

2

＜2，

∴-4＜b＜4；

（2）须x²+bx+c≥x与x²+bx+c≥-x同时成立，即

(b-1)2-4c≤0 (b+1)2-4c≤0

，∴b²+1≤4c；

（3）因为|x+

1

x

|≥2，依题意，对一切满足|x|≥2的实数x，有f（x）≥0．

①当f（x）=0有实根时，f（x）=0的实根在区间[-2，2]内，设f（x）=x²+bx+c，所以

f(-2)≥0 f(2)≥0 -2≤- b 2 ≤2

，

即

4-2b+c≥0 4+2b+c≥0 -4≤b≤4

，又

2x2+3

x2+1

=2+

1

x2+1

∈(2，3]，

于是，f(

2x2+3

x2+1

)的最大值为f（3）=1，即9+3b+c=1，从而c=-3b-8．

故

4-2b-3b-8≥0 4+2b-3b-8≥0 -4≤b≤4

，即

b≤- 4 5 b≤-4 -4≤b≤4

，解得b=-4，c=4．

②当f（x）=0无实根时，△=b²-4c＜0，由二次函数性质知，

f（x）=x²+bx+c在（2，3]上的最大值只能在区间的端点处取得，

所以，当f（2）＞f（3）时，f(

2x2+3

x2+1

)无最大值．

于是，f(

2x2+3

x2+1

)存在最大值的充要条件是f（2）≤f（3），

即4+2b+c≤9+3b+c，所以，b≥-5．又f(

2x2+3

x2+1

)的最大值为f（3）=1，

即9+3b+c=1，从而c=-3b-8．由△=b²-4c＜0，得b²+12b+32＜0，即-8＜b＜-4．

所以b、c满足的条件为3b+c+8=0且-5≤b＜-4．

综上：3b+c+8=0且-5≤b≤-4．