①：对于任意x∈R，都有f （x+6）=f （x）+f （3）成立，令x=-3，则f（-3+6）=f（-3）+f （3），又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（3）=0．

②：由（1）知f （x+6）=f （x），所以f（x）的周期为6，

又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（x+6）=f（-x），

而f（x）的周期为6，所以f（x+6）=f（-6+x），f（-x）=f（-x-6），

所以：f（-6-x）=f（-6+x），所以直线x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴．

③：当x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂时，都有

所以函数y=f（x）在[0，3]上为增函数，

因为f（x）是R上的偶函数，所以函数y=f（x）在[-3，0]上为减函数

而f（x）的周期为6，所以函数y=f（x）在[-9，-6]上为减函数．

④：f（3）=0，f（x）的周期为6，

所以：f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0

函数y=f（x）在[-9，9]上有四个零点．

故答案为：①②④．