已知直线l：mx-2y+2m=0（m∈R）和椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞

问题解答题

已知直线l：mx-2y+2m=0（m∈R）和椭圆C：

=1（a＞b＞0），椭圆C的离心率为

，连接椭圆的四个顶点形成四边形的面积为2

．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设直线l经过的定点为Q，过点Q作斜率为k的直线l′与椭圆C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）设直线l与y轴的交点为P，M为椭圆C上的动点，线段PM长度的最大值为f（m），求f（m）的表达式．

答案

（I）由离心率e=

，得b=c=

又因为2ab=2

，所以a=

，b=1，即椭圆标准方程为

+y2=1．（4分）

（II）由l：mx-2y+2m=0经过定点Q（-2，0），则直线l′：y=k（x+2），

由

y=k(x+2)

+y2=1

有（2k²+1）x²+8k²x+8k²-2=0．

所以△=64k⁴-8（2k²+1）（4k²-1）＞0，可化为 2k²-1＜0

解得-

＜k＜

．（8分）

（Ⅲ）由l：mx-2y+2m=0，设x=0，则y=m，所以P（0，m）．

设M（x，y）满足

+y2=1，

则|PM|²=x²+（y-m）²=2-2y²+（y-m ）²=-y²-2my+m²+2=-（y+m）²+2m²+2，

因为-1≤y≤1，所以

当|m|＞1时，|MP|的最大值f（m）=1+|m|；

当|m|≤1时，|MP|的最大值f（m）=

2m2+2

；

所以f（m）=

1+|m|m＞1

2m2+2

|m|≤1

．（12分）