问题
解答题
在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x-3）2+（y+2）2=4，圆C2：（x+m）2+（y+m+5）2=2m2+8m+10（m∈R，且m≠-3）．
（1）设P为坐标轴上的点，满足：过点P分别作圆C1与圆C2的一条切线，切点分别为T1、T2，使得PT1=PT2，试求出所有满足条件的点P的坐标；
（2）若斜率为正数的直线l平分圆C1，求证：直线l与圆C2总相交．
答案
（1）由题设条件，圆C1的圆心坐标（3，-2），半径为2，圆C2的圆心坐标（-m，-m-5），半径为2m 2+8m+10
∵过点P分别作圆C1与圆C2的一条切线，切点分别为T1、T2，使得PT1=PT2，
∴PC12-4=PC22-（2m2+8m+10）
若点P在X轴上，设P（x，0），将P（x，0）及圆心的坐标代入整理得（2m-6）x=-2m+6，故x=-1，
即P（-1，0）
若点P在Y轴上，可设P（0，y），同理解得y=-1，即P（0，-1）
故满足条件的点P的坐标为（-1，0）或（0，-1）
（2）若斜率为正数的直线l平分圆C1，可得此直线过定点（3，-2），
设此直线的方程为y+2=k（x-3），整理得kx-y-3k-2=0
圆C2的圆心到此直线的距离为d=
=|-mk+m+5-3k-2| 1+k2 |(1-k)(m+3)| 1+k2
由于d2-r2=
-（2m2+8m+10）(1-2k+k2)(m+3) 2 1+k2
=(1-2k+k2)(m+3) 2-(1+k2)(2m 2+8m+10) 1+k2
=-m2-2m-1-
（m+3）22k 1+k2
=-（m+1）2-
（m+3）2＜0 （∵k＞0）2k 1+k2
可得在d＜r，即直线l与圆C2总相交