问题 解答题

在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x-3)2+(y+2)2=4,圆C2:(x+m)2+(y+m+5)2=2m2+8m+10(m∈R,且m≠-3).

(1)设P为坐标轴上的点,满足:过点P分别作圆C1与圆C2的一条切线,切点分别为T1、T2,使得PT1=PT2,试求出所有满足条件的点P的坐标;

(2)若斜率为正数的直线l平分圆C1,求证:直线l与圆C2总相交.

答案

(1)由题设条件,圆C1的圆心坐标(3,-2),半径为2,圆C2的圆心坐标(-m,-m-5),半径为

2m 2+8m+10

∵过点P分别作圆C1与圆C2的一条切线,切点分别为T1、T2,使得PT1=PT2

∴PC12-4=PC22-(2m2+8m+10)

若点P在X轴上,设P(x,0),将P(x,0)及圆心的坐标代入整理得(2m-6)x=-2m+6,故x=-1,

即P(-1,0)

若点P在Y轴上,可设P(0,y),同理解得y=-1,即P(0,-1)

故满足条件的点P的坐标为(-1,0)或(0,-1)

(2)若斜率为正数的直线l平分圆C1,可得此直线过定点(3,-2),

设此直线的方程为y+2=k(x-3),整理得kx-y-3k-2=0

圆C2的圆心到此直线的距离为d=

|-mk+m+5-3k-2|
1+k2
=
|(1-k)(m+3)|
1+k2

由于d2-r2=

(1-2k+k2)(m+3) 2
1+k2
-(2m2+8m+10)

=

(1-2k+k2)(m+3) 2-(1+k2)(2m 2+8m+10) 
1+k2

=-m2-2m-1-

2k
1+k2
(m+3)2

=-(m+1)2-

2k
1+k2
(m+3)2<0 (∵k>0)

可得在d<r,即直线l与圆C2总相交

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