问题
填空题
某同学在研究函数f(x)=
①等式f（-x）+f（x）=0对x∈R恒成立； ②若f（x1）≠f（x2），则一定有x1≠x2； ③若m＞0，方程|f（x）|=m有两个不等实数根； ④函数g（x）=f（x）-x在R上有三个零点． 其中正确结论的序号有______．（请将你认为正确的结论的序号都填上） |
答案
由题意知
①因为f(-x)=
=-(-x 1+|-x|
)=-f(x)(x∈R)，所以f(x)=x 1+|x|
(x∈R)是奇函数，故f（-x）+f（x）=0对x∈R恒成立，即①正确；x 1+|x|
②则当x＞0时，f（x）=
反比例函数的单调性可知，f（x）在（0，+∞）上是增函数1 1+ 1 x
再由①知f（x）在（-∞，0）上也是增函数，从而f（x）为单调递增函数，
所以f（x1）≠f（x2），则一定有x1≠x2成立，故命题错误；
③因为f（x）为单调递增函数，所以|f（x）|为偶函数，因为f（x）在（0，+∞）为单调递增函数，所以函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，且0≤|f（x）|＜1，所以当0＜m＜1时有两个不相等的实数根，当m≥1时不可能有两个不等的实数根，故本命题错误；
④可以判断g（x）为奇函数，并且g（x）在（-∞，0）上单调递减，即g（x）在（-∞，0）上g（x）＞0，在（0，+∞）上单调递减，即g（x）在（0，+∞）上g（x）＜0，故函数g（x）=f（x）-x在R上有一个零点．错误
故答案为：①②．