问题
解答题
某工厂为某工地生产容器为
（1）制造容器的成本y（元）表示成r的函数； （2）工地要求容器的底面半径r∈[2，3]（米），问如何设计容器的尺寸，使其成本最低？，最低成本是多少？（精确到元） |
答案
（1）容器壁的高为h米，容器的体积为V米3．
由V=πr2h，得πr2h=
π．3 2
∴h=3 2r2
∴y=30•πrr2+20•2πrh=30πr2+
=30π(r2+60π r
)(r＞0)2 r
（2）由y=30π(r2+
)=30π(r2+2 r
+1 r
)≥30π•31 r
=90π3 r2•
•1 r 1 r
当且仅当r2=
．即r=1时，取等号．1 r
由1∉[2，3]；下面研究函数Q(x)=r2+
在r∉[2，3]上的单调性．2 r
设2≤r1＜r2≤3，Q(r1)-Q(r2)=(r12+
)-(r22+2 r1
)=(2 r2
-r 21
)+2(r 22
-1 r1
)=(r1-r2)•1 r2
，r1+r2-2 r1r2
∵2≤r1＜r2≤3，
∴(r1-r2)＜0，
＞0，r1+r2-2 r1r2
∴Q（r1）-Q（r2）＜0，即Q（r）在[2，3]上为增函数．
当r=2时，y取得最小值150π≈465（元）．
∴当r=2米，h=
米时，造价最低为465元．3 8