问题
解答题
某工厂为某工地生产容器为
(1)制造容器的成本y(元)表示成r的函数; (2)工地要求容器的底面半径r∈[2,3](米),问如何设计容器的尺寸,使其成本最低?,最低成本是多少?(精确到元) |
答案
(1)容器壁的高为h米,容器的体积为V米3.
由V=πr2h,得πr2h=
3 |
2 |
∴h=
3 |
2r2 |
∴y=30•πrr2+20•2πrh=30πr2+
60π |
r |
2 |
r |
(2)由y=30π(r2+
2 |
r |
1 |
r |
1 |
r |
3 | r2•
| ||||
当且仅当r2=
1 |
r |
由1∉[2,3];下面研究函数Q(x)=r2+
2 |
r |
设2≤r1<r2≤3,Q(r1)-Q(r2)=(r12+
2 |
r1 |
2 |
r2 |
r | 21 |
r | 22 |
1 |
r1 |
1 |
r2 |
r1+r2-2 |
r1r2 |
∵2≤r1<r2≤3,
∴(r1-r2)<0,
r1+r2-2 |
r1r2 |
∴Q(r1)-Q(r2)<0,即Q(r)在[2,3]上为增函数.
当r=2时,y取得最小值150π≈465(元).
∴当r=2米,h=
3 |
8 |