（1）当x∈[0，1]时，f（x）=x（1-x）+m=-x2+x+m=-(x-

1

2

)2+m+

1

4

∴当x=

1

2

时，f(x)max=m+

1

4

当x∈（1，m]时，f（x）=x（x-1）+m=x2-x+m=(x-

1

2

)2+m-

1

4

∵函数y=f（x）在（1，m]上单调递增，∴f（x）_max=f（m）=m²

由m2≥m+

1

4

得：m2-m-

1

4

≥0又m＞1⇒m≥

1+ 2

2

．

∴当m≥

1+ 2

2

时，f（x）_max=m²；

当1＜m＜

1+ 2

2

时，f(x)max=m+

1

4

．

（2）函数p（x）有零点即方程f（x）-g（x）=x|x-1|-lnx+m=0有解，

即m=lnx-x|x-1|有解

令h（x）=lnx-x|x-1|，当x∈（0，1]时，h（x）=x²-x+lnx

∵h′(x)=2x+

1

x

-1≥2

2

-1＞0

∴函数h（x）在（0，1]上是增函数，∴h（x）≤h（1）=0

当x∈（1，+∞）时，h（x）=-x²+x+lnx．

∵h′(x)=-2x+

1

x

+1=

-2x2+x+1

x

=-

(x-1)(2x+1)

x

＜0

∴函数h（x）在（1，+∞）上是减函数，∴h（x）＜h（1）=0

∴方程m=lnx-x|x-1|有解时，m≤0，

即函数p（x）有零点时m≤0