问题 解答题
定义在R上的函数f(x)满足f(0)=0 ,f(x)+f(1-x)=1 ,f(
x
5
)=
1
2
f(x)
,且当0≤x1<x2≤1时,f(x1)≤f(x2).则f(
1
2008
)
等于?
答案

∵f(0)=0,f(x)+f(1-x)=1,令x=1得:f(1)=1,

又f(

x
5
)=
1
2
f(x),

∴当x=1时,f(

1
5
)=
1
2
f(1)=
1
2

令x=

1
5
,由f(
x
5
)=
1
2
f(x)得:

f(

1
25
)=
1
2
f(
1
5
)=
1
4

同理可求:f(

1
125
)=
1
2
f(
1
25
)=
1
8

f(

1
625
)=)=
1
2
f(
1
125
)=
1
16

f(

1
3125
)=
1
2
f(
1
625
)=
1
32

再令x=

1
2
,由f(x)+f(1-x)=1,可求得f(
1
2
)=
1
2

∴f(

1
2
)+f(1-
1
2
)=1,解得f(
1
2
)=
1
2

令x=

1
2
,同理反复利用f(
x
5
)=
1
2
f(x),

可得f(

1
10
)=)=
1
2
f(
1
2
)=
1
4

f(

1
50
)=
1
2
f(
1
10
)=
1
8

f(

1
1250
)=
1
2
f(
1
250
)=
1
32

由①②可得:,有f(

1
1250
)=f(
1
3125
)=
1
32

∵0≤x1<x2≤1时f(x1)≤f(x2),而0<

1
3125
1
2008
1
1250
<1

所以有f(

1
2008
)≥f(
1
3125
)=
1
32

       f(

1
2008
)≤f(
1
1250
)=
1
32

f(

1
2008
)=
1
32

问答题
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