已知函数f（x）=a(1-2|x-
（1）f（x）的图象关于直线x=
（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则x0称为函数f（x）的二阶周期点，如果f（x）有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围； （3）对于（2）中的x1，x2，和a，设x3为函数f（f（x））的最大值点，A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（x3，0），记△ABC的面积为S（a），讨论S（a）的单调性． |
（1）证明：∵f(
+x)=a(1-2|1 2
+x-1 2
|)=a（1-2|x|），f(1 2
-x)=a(1-2|1 2
-x-1 2
|)=a（1-2|x|），1 2
∴f(
+x)=f(1 2
-x)，∴f（x）的图象关于直线x=1 2
对称．1 2
（2）当0＜a＜
时，有f（f（x））=1 2
．4a2x，x≤ 1 2 4a2(1-x)，x＞ 1 2
∴f（f（x））=x只有一个解x=0又f（0）=0，故0不是二阶周期点．
当a=
时，有f（f（x））=1 2
．x，x≤ 1 2 1-x，x＞ 1 2
∴f（f（x））=x有解集，{x|x≤
}，故此集合中的所有点都不是二阶周期点．1 2
当a＞
时，有f（f（x））=1 2
，4a2x，x≤ 1 4a 2a-4a2x，
＜x≤1 4a 1 2 2a(1-2a)+4a2x，
＜x≤1 2 4a-1 4a 4a2-4a2x，x＞ 4a-1 4a
∴f（f（x））=x有四个0，
，2a 1+4a2
，2a 1+2a
．4a2 1+4a2
由f（0）=0，f(
)=2a 1+2a
，f(2a 1+2a
)≠2a 1+4a2
，f(2a 1+4a2
)≠4a2 1+4a2
．4a2 1+4a2
故只有
，2a 1+4a2
是f（x）的二阶周期点，综上所述，所求a的取值范围为a＞4a2 1+4a2
．1 2
（3）由（2）得x1=
，x2=2a 1+4a2
．4a2 1+4a2
∵x2为函数f（x）的最大值点，∴x3=
，或x3=1 4a
．4a-1 4a
当x3=
时，S（a）=1 4a
．求导得：S′（a）=-2a-1 4(1+4a2)
．2(a-
)(a-1+ 2 2
)1- 2 2 (1+4a2)2
∴当a∈(
，1 2
)时，S（a）单调递增，当a∈(1+ 2 2
，+∞)时，S（a）单调递减．1+ 2 2
当x3=
时，S（a）=4a-1 4a
，求导得S′(a)=8a2-6a+1 4(1+4a2)
．12a2+4a-3 2(1+4a2)2
∵a＞
，从而有S′(a)=1 2
．12a2+4a-3 2(1+4a2)2
∴当a∈(
，+∞)时，S（a）单调递增．1 2