（1）证明：∵f(

1

2

+x)=a(1-2|

1

2

+x-

1

2

|)=a（1-2|x|），f(

1

2

-x)=a(1-2|

1

2

-x-

1

2

|)=a（1-2|x|），

∴f(

1

2

+x)=f(

1

2

-x)，∴f（x）的图象关于直线x=

1

2

对称．

（2）当0＜a＜

1

2

时，有f（f（x））=

4a2x，x≤ 1 2 4a2(1-x)，x＞ 1 2

．

∴f（f（x））=x只有一个解x=0又f（0）=0，故0不是二阶周期点．

当a=

1

2

时，有f（f（x））=

x，x≤ 1 2 1-x，x＞ 1 2

．

∴f（f（x））=x有解集，{x|x≤

1

2

}，故此集合中的所有点都不是二阶周期点．

当a＞

1

2

时，有f（f（x））=

4a2x，x≤ 1 4a 2a-4a2x， 1 4a ＜x≤ 1 2 2a(1-2a)+4a2x， 1 2 ＜x≤ 4a-1 4a 4a2-4a2x，x＞ 4a-1 4a

，

∴f（f（x））=x有四个0，

2a

1+4a2

，

2a

1+2a

，

4a2

1+4a2

．

由f（0）=0，f(

2a

1+2a

)=

2a

1+2a

，f(

2a

1+4a2

)≠

2a

1+4a2

，f(

4a2

1+4a2

)≠

4a2

1+4a2

．

故只有

2a

1+4a2

，

4a2

1+4a2

是f（x）的二阶周期点，综上所述，所求a的取值范围为a＞

1

2

．

（3）由（2）得x1=

2a

1+4a2

，x2=

4a2

1+4a2

．

∵x₂为函数f（x）的最大值点，∴x3=

1

4a

，或x3=

4a-1

4a

．

当x3=

1

4a

时，S（a）=

2a-1

4(1+4a2)

．求导得：S^′（a）=-

2(a- 1+ 2 2 )(a- 1- 2 2 )

(1+4a2)2

．

∴当a∈(

1

2

，

1+ 2

2

)时，S（a）单调递增，当a∈(

1+ 2

2

，+∞)时，S（a）单调递减．

当x3=

4a-1

4a

时，S（a）=

8a2-6a+1

4(1+4a2)

，求导得S′(a)=

12a2+4a-3

2(1+4a2)2

．

∵a＞

1

2

，从而有S′(a)=

12a2+4a-3

2(1+4a2)2

．

∴当a∈(

1

2

，+∞)时，S（a）单调递增．