A、一条对角线平分一个内角的平行四边形，另一条对角线不一定平分内角，所以不一定是菱形，故本选项错误；

B、应为对角线相等且互相垂直平分的四边形是矩形，故本选项错误；

C、顺次连接平行四边形四边中点所得的四边形是平行四边形，故本选项错误；

D、对角线互相平分且相等的四边形是正方形正确，故本选项正确．

故选D．