证明：（1）任取-1≤x₁＜x₂≤1，则

f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

•(x1-x2)

∵-1≤x₁＜x₂≤1，∴x₁+（-x₂）≠0，

由已知

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

＜0，又x₁-x₂＜0，

∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x）在[-1，1]上为减函数；

（2）∵f（x）在[-1，1]上为减函数，

故有

x+ 1 2 ≥-1 3 2 -x2＞x+ 1 2 3 2 -x2 ≤1

，

解得

2

2

≤x＜

5 -1

2

，或-

3

2

＜x≤-

2

2

，

∴解集为： [

2

2

，

5 -1

2

)∪[-

3

2

，-

2

2

)

（3）由（1）可知：f（x）在[-1，1]上是减函数，

且f（1）=1，故对x∈[-l，1]，恒有f（x）≥1．

所以要使f（x）≤t²-2at+1，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，

即要t²-2at+1≥1成立，故t²-2at≥0成立．

∴

t2+2t≥0 t2-2t≥ 0

，

解得：t≤-2或t≥2或t=0．