（1）∵函数f（x）图象过原点，∴f（0）=0，解得 c=0，故函数f（x）=

x

x+1

．

（2）证明：设0≤x₁＜x₂≤2，

则f（x₁）-f（x₂）=

x1

x1+1

-

x2

x2+1

=

x1(x2+1)-x2(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

=-

x2-x1

(x1+1)(x2+1)

．

由0≤x₁＜x₂≤2 可得，x₂-x₁＞0，x₁+1＞0，x₂+1＞0，故有-

x2-x1

(x1+1)(x2+1)

＜0，

则f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂ ），

故函数f（x）在[0，2]上是单调递增函数．

（3）令g(x)=f(ex)-

1

3

=

ex

ex+1

-

1

3

=0，

∴ex=

1

2

，即x=ln

1

2

=-ln2，

即函数g（x）的零点为 x=-ln2．