问题
解答题
已知函数f(x)=
(1)求函数f(x)的定义域,并判断它的单调性(不用证明); (2)若f(x)的反函数为f-1(x),证明方程f-1(x)=0有解,且有唯一解; (3)解关于x的不等式f[x(x+1)]>1. |
答案
(1)由
>0,及1-x≠0,得:-1<x<1,1+x 1-x
∴f(x)的定义域为(-1,1),…(2分)
由于y=lg
=lg(-1+1+x 1-x
)和y=2 1-x
在(-1,1)上都是增函数,1 1-x
∴f(x)在定义域(-1,1)内是增函数. …(4分)
(2)令x=0,得f(0)=1.即x=0是方程f-1(x)=0的一个解…(7分)
设x1≠0是f-1(x)=0的另一解,则由反函数的定义知f(0)=x1≠0,
这与f(0)=1矛盾,故f-1(x)=0有且只有一个解.…(10分)
(3)由f[x(x+1)]>1=f(0),且f(x)为定义在(-1,1)上的增函数,得0<x(x+1)<1,
解得-
<x<-1或0<x<1+ 5 2
,这也即为不等式f[x(x+1)]>1的解.…(16分)-1+ 5 2