设关于x的方程x2-mx-1=0有两个实根α，β，且α＜β．定义函数f(x)=2

问题解答题

设关于x的方程x²-mx-1=0有两个实根α，β，且α＜β．定义函数f(x)=

2x-m

x2+1

（1）当α=-1，β=1时，判断f（x）在R上的单调性，并加以证明；
（2）求αf（α）+βf（β）的值．

答案

（1）∵α=-1，β=1，

由韦达定理可得：m=α+β=0

∴f(x)=

x2+1

------（2分）

设x₁＜x₂，

f(x2)-f(x1)=

2x2

x22+1

2x1

x12+1

2x2．(x12+1)-2x1(x22+1)

(x22+1)(x12+1)

2(x2-x1)(1-x1x2)

(x22+1)(x12+1)

∵（x₂-x₁）＞0，

当x₂，x₁＞1时，（1-x₁x₂）＜0，此时f（x₂）-f（x₁）＜0，函数为减函数，

当-1＜x₂，x₁＜1时，（1-x₁x₂）＞0，此时f(x2)-f(x1)＞0，函数为增函数，

当x₂，x₁＜-1时，（1-x₁x₂）＜0，此时f(x2)-f(x1)＜0，函数为减函数，（9分）

（2）∵α，β是方程x²-mx-1=0的两个实根，

∴

α+β=m

α•β=-1

．

∴f(α)=

2α-m

α2+1

2α-(α+β)

α2-αβ

α-β

α(α-β)

，

同理f（β）=

，

∴αf（α）+βf（β）=α•

+β•

=1+1=2．（13分）