问题 选择题

已知f(x)是定义在R上的增函数,函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称.若对任意的x,y∈R,不等式f(x2-6x+21)+f(y2-8y)<0恒成立,则当x>3时,x2+y2的取值范围是(  )

A.(3,7)

B.(9,25)

C.(13,49)

D.(9,49)

答案

∵函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称

∴函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,即函数y=f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x)

又∵f(x)是定义在R上的增函数且f(x2-6x+21)+f(y2-8y)<0恒成立

∴(x2-6x+21)<-f(y2-8y)=f(8y-y2 )恒成立

∴x2-6x+21<8y-y2

∴(x-3)2+(y-4)2<4恒成立

设M (x,y),则当x>3时,M表示以(3,4)为圆心2为半径的右半圆内的任意一点,

则x2+y2表示在半圆内任取一点与原点的距离的平方

结合圆的知识可知13<x2+y2<49

故选 C

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