问题
解答题
函数f(x)=x+
（Ⅰ）判断并证明函数的奇偶性； （Ⅱ）若a=2，证明函数f（x）在（2，+∞）上单调递增； （Ⅲ）在满足（Ⅱ）的条件下，解不等式f（t2+2）+f（-2t2+4t-5）＜0． |
答案
（I）该函数为奇函数．
证明：函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，
且f（-x）=-x+
=-(x+a -x
)=-f(x)，a x
故函数f（x）为奇函数．
（II）当a=2时，f（x）=x+
．4 x
∀2＜x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=(x1+
)-(x2+4 x1
)=4 x2
．(x1-x2)(x1x2-4) x1x2
∵2＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1x2＞4，即x1x2-4＞0．
∴
＜0，(x1-x2)(x1x2-4) x1x2
∴f（x1）＜f（x2），函数f（x）在（2，+∞）上单调递增．
（III）∵f（x）为奇函数，∴f（t2+2）＜-f（-2t2+4t-5）=f（2（t-1）2+3），
∵t2+2≥2，2（t-1）2+3＞2，函数f（x）在（2，+∞）上单调递增，
∴t2+2＜2t2-4+5，
化为t2-4t+3＞0，解得t＜1或t＞3．