已知圆M：x2+y2-4x-8y+m=0与x轴相切．（1）求m的值；（2）求

问题解答题

已知圆M：x²+y²-4x-8y+m=0与x轴相切．

（1）求m的值；

（2）求圆M在y轴上截得的弦长；

（3）若点P是直线3x+4y+8=0上的动点，过点P作直线PA、PB与圆M相切，A、B为切点．求四边形PAMB面积的最小值．

答案

（1）令y=0，有x²-4x+m=0，由题意知，△=16-4m=0，∴m=4

即m的值为4．…（4分）

（2）设⊙M与y轴交于E（0，y₁），F（0，y₂），令x=0有y²-8y+4=0①，

则y₁，y₂是①式的两个根，则|y₁-y₂|=

64-16

．

所以⊙M在y轴上截得的弦长为4

．…（9分）

（3）由题意知：S_PAMB=2S_△PAM=2×

MB×PB=4PB=4

PM2-16

，…（10分）

∵PM的最小值等于点M到直线3x+4y+8=0的距离…（11分）

∴PMmin=

6+16+8

=6…（12分）

∴(SPAMB)min=4

36-16

，即四边形PAMB的面积的最小值为8

．…（14分）