设有一组圆Ck：（x-k+1）2+（y-3k）2=2k4（k∈N*）．下列四个命

问题填空题

设有一组圆C_k：（x-k+1）²+（y-3k）²=2k⁴（k∈N^*）．下列四个命题：

①存在一条定直线与所有的圆均相切；

②存在一条定直线与所有的圆均相交；

③存在一条定直线与所有的圆均不相交；

④所有的圆均不经过原点．

其中真命题的代号是______（写出所有真命题的代号）．

答案

根据题意得：圆心（k-1，3k），

圆心在直线y=3（x+1）上，故存在直线y=3（x+1）与所有圆都相交，选项②正确；

考虑两圆的位置关系，

圆k：圆心（k-1，3k），半径为

k²，

圆k+1：圆心（k-1+1，3（k+1）），即（k，3k+3），半径为

（k+1）²，

两圆的圆心距d=

(k-k+1)2+(3k-3k-3)2

，

两圆的半径之差R-r=

（k+1）²-

k²=2

，

任取k=1或2时，（R-r＞d），C_k含于C_k+1之中，选项①错误；

若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误；

将（0，0）带入圆的方程，则有（-k+1）²+9k²=2k⁴，即10k²-2k+1=2k⁴（k∈N*），

因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确．

则真命题的代号是②④．

故答案为：②④