问题
解答题
| 已知点M与两个定点E（8，0），F（5，0）的距离之比等于2，设点M的轨迹为C． （Ⅰ）求曲线C的方程； （Ⅱ）若直线l：y=kx与曲线C相交于不同的两点A、B． （1）求k的取值范围； （2）分别取k=0及k=
|
答案
（Ⅰ）设M（x，y），依题意有：
=2，|ME| |MF|
∴
=2，（2分）(x-8)2+y2 (x-5)2+y2
整理得曲线C的方程为（x-4）2+y2=4．（4分）
（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，要使线l：y=kx与曲线C相交于不同的两点，只需曲线C的圆心（4，0）到直线l的距离小于圆的半径2．
∴
＜2，|4k| k2+1
解得，-
＜k＜3 3
．（7分）3 3
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），则有0＜x1＜x0＜x2．
当k=0时，A（2，0），B（6，0），
由
=|AQ| |QB|
知，|OA| |OB|
=x0-2 6-x0
，2 6
∴x0=3，即点Q的坐标为（3，0）．（8分）
当k=
时，由1 2 y=
x1 2 (x-4)2+y2=4
得方程5x2-32x+48=0，∴x1+x2=
，x1x2=32 5 48 5
由
=|AQ| |QB|
知，|OA| |OB|
=x0-x1 x2-x0
，x1 x2
整理得x0=
=3，∴y0=2x1x2 x1+x2 3 2
∴即点Q的坐标为（3，
）．（10分）3 2
猜想，点Q在直线x=3上．（11分）
证明如下：
方法1，由y=kx (x-4)2+y2=4
得（1+k2）x2-8x+12=0，（12分）
∴x1+x2=
①，x1x2=8 1+k2
②12 1+k2
由
=|AQ| |QB|
知，|OA| |OB|
=x0-x1 x2-x0
，x1 x2
整理得x0=
=32x1x2 x1+x2
即点Q在定直线上，这条直线的方程是x=3．（15分）