已知函数f（x）=-13x3+2ax2-3a2x+1，0＜a＜1．（Ⅰ）求函数f

问题解答题

已知函数f（x）=-

x3+2ax²-3a²x+1，0＜a＜1．
（Ⅰ）求函数f（x）的极大值；
（Ⅱ）若x∈[1-a，1+a]时，恒有-a≤f′（x）≤a成立（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），试确定实数a的取值范围．

答案

（Ⅰ）f′（x）=-x²+4ax-3a²，且0＜a＜1，（1分）

当f′（x）＞0时，得a＜x＜3a；

当f′（x）＜0时，得x＜a或x＞3a；

∴f（x）的单调递增区间为（a，3a）；

f（x）的单调递减区间为（-∞，a）和（3a，+∞）．（5分）

故当x=3a时，f（x）有极大值，其极大值为f（3a）=1．（6分）

（Ⅱ）f′（x）=-x²+4ax-3a²=-（x-2a）²+a²，

ⅰ）当2a≤1-a时，即0＜a≤

时，f′（x）在区间[1-a，1+a]内单调递减．

∴[f′（x）]_max=f′（1-a）=-8a²+6a-1，[f′（x）]_min=f′（1+a）=2a-1．

∵-a≤f′（x）≤a，∴

-8a2+6a-1≤a

2a-1≥-a

∴

a∈R

a≥

∴a≥

．

此时，a=

．（9分）

ⅱ）当2a＞1-a，且2a＜a+1时，即

＜a＜1，[f′（x）]_max=f′（2a）=a²．

∵-a≤f′（x）≤a，∴

f′(1+a)≥-a

f′(1-a)≥-a

f′(2a)≤a

即

2a-1≥-a

-8a2+6a-1≥-a

a2≤a

∴

a≥

≤a≤

0≤a≤1.

∴

≤a≤

．

此时，

＜a≤

．（12分）

ⅲ）当2a≥1+a时，得a≥1与已知0＜a＜1矛盾．（13分）

综上所述，实数a的取值范围为[

，

]．（14分）