在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：22x-y+3+82=0和圆C1：x2+y

问题解答题

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：2

x-y+3+8

=0和圆C₁：x²+y²+8x+F=0．若直线l被圆C₁截得的弦长为2

．
（1）求圆C₁的方程；
（2）设圆C₁和x轴相交于A、B两点，点P为圆C₁上不同于A、B的任意一点，直线PA、PB交y轴于M、N点．当点P变化时，以MN为直径的圆C₂是否经过圆C₁内一定点？请证明你的结论；
（3）若△RST的顶点R在直线x=-1上，S、T在圆C₁上，且直线RS过圆心C₁，∠SRT=30°，求点R的纵坐标的范围．

答案

（1）圆C₁：（x+4）²+y²=16-F，

则圆心（-4，0）到直线2

x-y+3+8

=0的距离d=

|-8

+3+8

根据垂径定理及勾股定理得：(

)2+（

-8

+3+8

）²=16-F，F=12

∴圆C₁的方程为（x+4）²+y²=4；

（2）令圆的方程（x+4）²+y²=4中y=0得到：x=-6，x=-2，则A（-6，0），B（-2，0）

设P（x₀，y₀）（y₀≠0），则（x₀+4）²+y₀²=4，得到（x₀+4）²-4=-y₀²①

∴k_PA=

x0+6

则l_PA：y=

x0+6

（x+6），M（0，

6y0

x0+6

）

∴则l_PB：y=

x0+2

（x+2），N（0，

2y0

x0+2

）

圆C₂的方程为x²+（y-

6y0

x0+6

2y0

x0+2

）²=（

6y0

x0+6

2y0

x0+2

）²

完全平方式展开并合并得：x²+y²-2（

6y0

x0+6

2y0

x0+2

）y+

12y02

(x0+4)2-4

将①代入化简得x²+y²-2（

6y0

x0+6

2y0

x0+2

）y=0，

令y=0，得x=±2

，

又点Q（-2

，0），

由Q到圆C₁的圆心（-4，0）的距离d=

(4-2

)2+0

=4-2

＜2，则点Q在圆C₁内，

所以当点P变化时，以MN为直径的圆C₂经过圆C₁内一定点（-2

，0）；

（3）设R（-1，t），作C₁F⊥RT于H，设C₁H=d，

由于∠C₁RH=30°，∴RC₁=2d，

由题得d≤2，

∴RC₁≤4，即

9+t2

≤4，∴-

≤t≤

，

∴点A的纵坐标的范围为[-

，

]