问题
解答题
已知f（x）=(1+
（1）求函数f（x）的反函数f-1（x）的解析式及其定义域； （2）判断函数f-1（x）在其定义域上的单调性并加以证明； （3）若当x∈(
|
答案
（1）令y=x，则有x=(1+
)-22 y-1
解得：f-1(x)=
(x∈(0，1))；（4分）1+ x 1- x
（2）设0＜x1＜x2＜1，则f-1(x1)-f-1(x2)=
-1+ x1 1- x1
=1+ x2 1- x2 2(
-x1
)x2 (1-
)(1-x1
)x2
=
=2(
-x1
)(x2
+x1
)x2 (1-
)(1-x1
)(x2
+x1
)x2 2(x1-x2) (1-
)(1-x1
)(x2
+x1
)x2
由0＜x1＜x2＜1，有所以f-1（x1）-f-1（x2）＜0，即函数f-1（x）在其定义域上的单调递增．（8分）
（3）当x∈(
，1 16
]时，不等式(1-1 4
)．f-1(x)＞a(a-x
)恒成立，x
即不等式
(1+a)＞a2-1恒成立x
当1+a＞0即a＞-1时，原命题等价于a＜
+1恒成立，由x∈(x
，1 16
]1 4
所以a≤
，从而得-1＜a≤5 4 5 4
当1+a=0即a=-1时，不等式
(1+a)＞a2-1不成立x
当1+a＜0即a＜-1时，原命题等价于a＞
+1恒成立，x
由x∈(
，1 16
]所以a＞1 4
，又a＜-1，所以a不存在．综上可得：-1＜a≤3 2
．（12分）5 4